1 Pengertian Bilangan Bulat
Bahwa yang dimaksud dengan bilangan adalah suatu konsep dalam bidang matematika yang digunakan sebagai pencacahan dan pengukuran. Sedangkan Bilangan Bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol dan bilangan bulat positif. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang mencakup bilangan cacah, bilangan asli, bilangan nol, bilangan satu, bilangan prima, bilangan komposit dan bilangan negatif. Atau kesimpulan lain dari bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang mencakup seluruh bilangan, kecuali bilangan imajiner, irrasional dan pecahan.
Di kebun binatang tentu banyak sekali hewan-hewanyang dapat dilihat. Ada harimau, gajah, jerapah,dan hewan-hewan lainnya. Dapatkah pembaca menghitung jumlah hewan-hewan tersebut? Misalkan jumlah harimau ada 20 ekor dan jumlah gajah ada 15 ekor. Bilangan 20 dan 15 merupakan contoh dari bilangan bulat.
Ternyata dengan bilangan bulat kita dapat menghitung apa saja yang ada di sekitar kita. Selain dua contoh bilangan bulat yang disebutkan tadi, dalam matematika ada begitu banyak bilangan bulat yang jumlahnya tak terhingga. Bilangan apa sajakah yang termasuk dalam kelompok himpunan bilangan bulat?
a. Bilangan Bulat Positif, Bilangan Bulat Negatif, dan Nol
Dari kebun binatang, mari alihkan perhatian kita ke suatu tempat yang tinggi di permukaan bumi. Kita mengenal tempat tersebut sebagai daerah pegunungan. Bagaimanakah suhu udara di pegunungan? Tentunya dingin, bukan? Suhu udara menjadi semakin dingin ketika kita berada di puncak gunung yang tinggi. Suhu udara di pegunungan tinggi dan bersalju dapat mencapai 20 derajat Celsius di bawah nol.
Dalam matematika, kuantitas 20 derajat Celsius di bawah nol ditulis/dinyatakan sebagai –20ºC dan dibaca negatif 20ºC. Dari pegunungan, selanjutnya kita beralih ke laut. Misalkan ada seorang penyelam yang sedang berada 15 meter di bawah permukaan laut. Dalam matematika, kuantitas 15 meter di bawah permukaan laut ditulis sebagai –15 meter dan dibaca negatif 15 meter. Bilangan-bilangan seperti 20, 15, –20, dan –15 memiliki besaran angka yang sama namun dengan tanda yang berbeda. Di dalam matematika, bilangan 20 dan 15 tergolong kelompok bilangan bulat positif sedangkan bilangan –20 dan –15 tergolong kelompok bilangan bulat negatif.
Di samping dua jenis bilangan bulat tersebut, terdapat satu bilangan bulat yang bukan bilangan negatif dan positif. Bilangan itu adalah nol (0), sehingga himpunan bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan nol. Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan B = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} dan dapat ditulis dalam garis bilangan seperti di bawah ini.
b. Hubungan Antarbilangan Bulat
Perhatikan kembali Gambar diatas, Pada garis bilangan tersebut terlihat bahwa semakin ke kanan bilangannya semakin besar. Misalnya –1 dan 2. Bilangan 2 terletak di sebelah kanan bilangan –1 sehingga –1 kurang dari 2 atau ditulis –1 < 2. Sebaliknya, semakin ke kiri bilangannya semakin kecil. Misalnya –5 dan –2. Bilangan –5 terletak di sebelah kiri bilangan –2 sehingga –2 lebih dari –5 atau –2 > –5. Lalu apakah hubungan tersebut berlaku untuk semua bilangan bulat, baik bilangan bulat positif, negatif, dan nol? hehehe.... selidiki doonggg...
2. Operasi pada Bilangan Bulat
Setelah mengetahui macam-macam bilangan bulat dan letaknya pada garis bilangan, kini saatnya kita mempelajari operasi hitung pada bilangan bulat. Operasi hitung yang akan kita pelajari adalah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
a. Penjumlahan
Pembaca Tentu telah mengenal operasi penjumlahan pada bilangan bulat, bukan? Untuk menyelesaikan operasi penjumlahan bilangan bulat dapat menggunakan mistar sederhana dan garis bilangan. Mistar yang digunakan memuat himpunan bilangan bulat. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Hitunglah –4 + 3 dengan menggunakan:
a. mistar sederhana;
b. garis bilangan.
Penyelesaian:
a. Menggunakan mistar sederhana
Langkah penyelesaiannya yaitu letakkan titik 0 pada mistar pertama tepat di atas angka –4 pada mistar kedua. Selanjutnya, lihat bilangan di bawah angka 3 pada mistar pertama sehingga pada mistar kedua diperoleh angka –1 sebagai hasilnya. Jadi, –4 + 3 = –1.
b. Menggunakan garis bilangan
Langkah penyelesaiannya yaitu sebagai berikut:
Dari titik nol melangkah ke kiri 4 satuan (karena negatif); kemudian dari titik –4 melangkah ke kanan 3 satuan (karena positif). Hasilnya adalah dari titik nol melangkah ke kiri 1 satuan atau sama dengan –1. Jadi, –4 + 3 = –1.
Jika telah memahami konsep penjumlahan dengan garis bilangan, maka dapat pula menentukan penjumlahan dua bilangan bulat dengan menggunakan pola tertentu seperti berikut ini.
Proses penjumlahan bilangan bulat dengan cara menyusun ke bawah lebih sering dipakai jika bilangan-bilangan yang dijumlahkan cukup banyak.
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pada operasi penjumlahan bilangan bulat berlaku sifatsifat yaitu komutatif, asosiatif, bilangan identitas, dan tertutup.
1) Sifat Komutatif (pertukaran)
Salin dan isilah operasi penjumlahan berikut ini.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
a. 5 + 7 = 12
7 + 5 = 12
Jadi, 5 + 7 = 7 + 5
b. 10 + (–5) = 5
(–5) + 10 = 5
Jadi, 10 + (–5) = (–5) + 10
c. –4 + (–5) = –9
(–5) + (–4) = –9
Jadi, –4 + (–5) = –5 + (–4)
Hasil penjumlahan bilangan bulat selalu sama walaupun letak bilangan ditukar. Sifat penjumlahan seperti ini disebut sifat komutatif dan ditulis: a + b = b + a
2) Sifat Asosiatif (pengelompokkan)
Salin dan isi titik-titik pada operasi penjumlahan berikut.
(33 + 37) + 7 = … + 7 dan 33 + (37 + 7) = 33 + … = … = …
Berdasarkan hasil penjumlahan di atas, apakah (33 + 37) + 7 memiliki hasil yang sama dengan 33 + (37 + 7)?
Pada operasi penjumlahan bilangan bulat, bilangan-bilangan tersebut dapat dikelompokkan dan ditulis dalam bentuk: (a + b) + c = a + (b + c)
Perhatikan contoh-contoh berikut ini:
a. (–5 + 7) + 8 = 2 + 8 = 10
–5 + (7 + 8) = –5 + 15 = 10
Jadi, (–5 + 7) + 8 = –5 + (7 + 8)
b. {7 + (–2)} + 6 = 5 + 6 = 11
7 + {(–2) + 6} = 7 + 4 = 11
Jadi, {7 + (–2)} + 6 = 7 + {(–2) + 6}
c. {–3 + (–6)} + (–5) = –9 + (–5) = –14
–3 + {(–6)} + (–5) = –3 + {(–6) + (–5)}
Jadi, {–3 + –6)} + (–5) = –3 + {(–6) + (–5)}
3) Bilangan identitas
Perhatikan penjumlahan bilangan bulat berikut.
3 + 0 = 3
–4 + 0 = –4
0 + (–5) = –5
Dari operasi penjumlahan di atas terlihat bahwa jika suatu bilangan bulat dijumlahkan dengan nol (0) selalu menghasilkan bilangan itu sendiri. Dalam matematika bilangan nol (0) disebut unsur identitas.
Penjumlahan bilangan bulat dengan unsur identitas ditulis: a + 0 = 0 + a
4) Sifat tertutup
Perhatikan penjumlahan bilangan bulat berikut.
3 + 5 = 8 –2 + 6 = 4 –7 + 5 = –2
Bilangan-bilangan 3, 5, –2, 6, –7, dan 5 merupakan bilangan bulat. Bilangan-bilangan 8, 4, dan –2 merupakan hasil dari penjumlahan bilangan bulat. Apakah 8, 4, dan –2 juga merupakan bilangan bulat? Ya, bilangan 8, 4, dan –2 juga merupakan bilangan bulat. Dengan demikian dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
Penjumlahan bilangan bulat akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga atau dapat ditulis jika a dan b ε B, maka a + b ε B. Sifat tertutup penjumlahan bilangan bulat: a + b = c; dengan a, b, dan c ε B.
Perhatikan contoh di bawah ini:
a. 2 + 9 = 1 ® 2 dan 9 adalah bilangan bulat.
Hasil penjumlahannya 11, juga bilangan bulat.
b. (–11) + (–9) = –20 ® –11 dan –9 adalah bilangan bulat
Hasil penjumlahannya –20, juga bilangan bulat.
c. –12 + 25 = 13 ® –12 dan 25 adalah bilangan bulat.
Hasil penjumlahannya 13, juga bilangan bulat.
Bahwa yang dimaksud dengan bilangan adalah suatu konsep dalam bidang matematika yang digunakan sebagai pencacahan dan pengukuran. Sedangkan Bilangan Bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol dan bilangan bulat positif. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang mencakup bilangan cacah, bilangan asli, bilangan nol, bilangan satu, bilangan prima, bilangan komposit dan bilangan negatif. Atau kesimpulan lain dari bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang mencakup seluruh bilangan, kecuali bilangan imajiner, irrasional dan pecahan.
Di kebun binatang tentu banyak sekali hewan-hewanyang dapat dilihat. Ada harimau, gajah, jerapah,dan hewan-hewan lainnya. Dapatkah pembaca menghitung jumlah hewan-hewan tersebut? Misalkan jumlah harimau ada 20 ekor dan jumlah gajah ada 15 ekor. Bilangan 20 dan 15 merupakan contoh dari bilangan bulat.
a. Bilangan Bulat Positif, Bilangan Bulat Negatif, dan Nol
Dari kebun binatang, mari alihkan perhatian kita ke suatu tempat yang tinggi di permukaan bumi. Kita mengenal tempat tersebut sebagai daerah pegunungan. Bagaimanakah suhu udara di pegunungan? Tentunya dingin, bukan? Suhu udara menjadi semakin dingin ketika kita berada di puncak gunung yang tinggi. Suhu udara di pegunungan tinggi dan bersalju dapat mencapai 20 derajat Celsius di bawah nol.
Dalam matematika, kuantitas 20 derajat Celsius di bawah nol ditulis/dinyatakan sebagai –20ºC dan dibaca negatif 20ºC. Dari pegunungan, selanjutnya kita beralih ke laut. Misalkan ada seorang penyelam yang sedang berada 15 meter di bawah permukaan laut. Dalam matematika, kuantitas 15 meter di bawah permukaan laut ditulis sebagai –15 meter dan dibaca negatif 15 meter. Bilangan-bilangan seperti 20, 15, –20, dan –15 memiliki besaran angka yang sama namun dengan tanda yang berbeda. Di dalam matematika, bilangan 20 dan 15 tergolong kelompok bilangan bulat positif sedangkan bilangan –20 dan –15 tergolong kelompok bilangan bulat negatif.
Di samping dua jenis bilangan bulat tersebut, terdapat satu bilangan bulat yang bukan bilangan negatif dan positif. Bilangan itu adalah nol (0), sehingga himpunan bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan nol. Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan B = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} dan dapat ditulis dalam garis bilangan seperti di bawah ini.
Perhatikan kembali Gambar diatas, Pada garis bilangan tersebut terlihat bahwa semakin ke kanan bilangannya semakin besar. Misalnya –1 dan 2. Bilangan 2 terletak di sebelah kanan bilangan –1 sehingga –1 kurang dari 2 atau ditulis –1 < 2. Sebaliknya, semakin ke kiri bilangannya semakin kecil. Misalnya –5 dan –2. Bilangan –5 terletak di sebelah kiri bilangan –2 sehingga –2 lebih dari –5 atau –2 > –5. Lalu apakah hubungan tersebut berlaku untuk semua bilangan bulat, baik bilangan bulat positif, negatif, dan nol? hehehe.... selidiki doonggg...
2. Operasi pada Bilangan Bulat
Setelah mengetahui macam-macam bilangan bulat dan letaknya pada garis bilangan, kini saatnya kita mempelajari operasi hitung pada bilangan bulat. Operasi hitung yang akan kita pelajari adalah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
a. Penjumlahan
Pembaca Tentu telah mengenal operasi penjumlahan pada bilangan bulat, bukan? Untuk menyelesaikan operasi penjumlahan bilangan bulat dapat menggunakan mistar sederhana dan garis bilangan. Mistar yang digunakan memuat himpunan bilangan bulat. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Hitunglah –4 + 3 dengan menggunakan:
a. mistar sederhana;
b. garis bilangan.
Penyelesaian:
a. Menggunakan mistar sederhana
b. Menggunakan garis bilangan
Dari titik nol melangkah ke kiri 4 satuan (karena negatif); kemudian dari titik –4 melangkah ke kanan 3 satuan (karena positif). Hasilnya adalah dari titik nol melangkah ke kiri 1 satuan atau sama dengan –1. Jadi, –4 + 3 = –1.
Jika telah memahami konsep penjumlahan dengan garis bilangan, maka dapat pula menentukan penjumlahan dua bilangan bulat dengan menggunakan pola tertentu seperti berikut ini.
- 3 + (–4) = –4 + 3 = –(4 – 3) = –1 → a + (–b) = –b + a = –(b – a)
- 5 + 10 = 10 + 5 = 15 →a + b = b + a
- –7 + (–3) = –(7 + 3) = –10 → –a + (–b) = –(a + b)
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pada operasi penjumlahan bilangan bulat berlaku sifatsifat yaitu komutatif, asosiatif, bilangan identitas, dan tertutup.
1) Sifat Komutatif (pertukaran)
Salin dan isilah operasi penjumlahan berikut ini.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
a. 5 + 7 = 12
7 + 5 = 12
Jadi, 5 + 7 = 7 + 5
b. 10 + (–5) = 5
(–5) + 10 = 5
Jadi, 10 + (–5) = (–5) + 10
c. –4 + (–5) = –9
(–5) + (–4) = –9
Jadi, –4 + (–5) = –5 + (–4)
Hasil penjumlahan bilangan bulat selalu sama walaupun letak bilangan ditukar. Sifat penjumlahan seperti ini disebut sifat komutatif dan ditulis: a + b = b + a
2) Sifat Asosiatif (pengelompokkan)
Salin dan isi titik-titik pada operasi penjumlahan berikut.
(33 + 37) + 7 = … + 7 dan 33 + (37 + 7) = 33 + … = … = …
Berdasarkan hasil penjumlahan di atas, apakah (33 + 37) + 7 memiliki hasil yang sama dengan 33 + (37 + 7)?
Pada operasi penjumlahan bilangan bulat, bilangan-bilangan tersebut dapat dikelompokkan dan ditulis dalam bentuk: (a + b) + c = a + (b + c)
Perhatikan contoh-contoh berikut ini:
a. (–5 + 7) + 8 = 2 + 8 = 10
–5 + (7 + 8) = –5 + 15 = 10
Jadi, (–5 + 7) + 8 = –5 + (7 + 8)
b. {7 + (–2)} + 6 = 5 + 6 = 11
7 + {(–2) + 6} = 7 + 4 = 11
Jadi, {7 + (–2)} + 6 = 7 + {(–2) + 6}
c. {–3 + (–6)} + (–5) = –9 + (–5) = –14
–3 + {(–6)} + (–5) = –3 + {(–6) + (–5)}
Jadi, {–3 + –6)} + (–5) = –3 + {(–6) + (–5)}
3) Bilangan identitas
Perhatikan penjumlahan bilangan bulat berikut.
3 + 0 = 3
–4 + 0 = –4
0 + (–5) = –5
Dari operasi penjumlahan di atas terlihat bahwa jika suatu bilangan bulat dijumlahkan dengan nol (0) selalu menghasilkan bilangan itu sendiri. Dalam matematika bilangan nol (0) disebut unsur identitas.
Penjumlahan bilangan bulat dengan unsur identitas ditulis: a + 0 = 0 + a
4) Sifat tertutup
Perhatikan penjumlahan bilangan bulat berikut.
3 + 5 = 8 –2 + 6 = 4 –7 + 5 = –2
Bilangan-bilangan 3, 5, –2, 6, –7, dan 5 merupakan bilangan bulat. Bilangan-bilangan 8, 4, dan –2 merupakan hasil dari penjumlahan bilangan bulat. Apakah 8, 4, dan –2 juga merupakan bilangan bulat? Ya, bilangan 8, 4, dan –2 juga merupakan bilangan bulat. Dengan demikian dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
Penjumlahan bilangan bulat akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga atau dapat ditulis jika a dan b ε B, maka a + b ε B. Sifat tertutup penjumlahan bilangan bulat: a + b = c; dengan a, b, dan c ε B.
Perhatikan contoh di bawah ini:
a. 2 + 9 = 1 ® 2 dan 9 adalah bilangan bulat.
Hasil penjumlahannya 11, juga bilangan bulat.
b. (–11) + (–9) = –20 ® –11 dan –9 adalah bilangan bulat
Hasil penjumlahannya –20, juga bilangan bulat.
c. –12 + 25 = 13 ® –12 dan 25 adalah bilangan bulat.
Hasil penjumlahannya 13, juga bilangan bulat.